Yestok.pl

Opracowanie powstało w oparciu o wersje programów jakimi dysponowałem w trakcie jego pisania, Libre Office: 4.2.6, Apache OpenOffice: 4.1.1, Excel 2007 i Google Docs określanego jako „nowa wersja arkuszy Google”.

W programach arkuszy kalkulacyjnych można tworzyć pewien specyficzny typ formuł. W programach LibreOffice i Apache OpenOffice nazywane są one formułami macierzowymi a w Excelu i Arkuszu kalkulacyjnym Google – formułami tablicowymi. Często stosowaną nazwą dla takich formuł jest określenie „Formuła CSE”. CSE jest skrótem literowym skrótu klawiaturowego „CTRL+SHIFT+ENTER”, tym skrótem klawiaturowym ten typ formuł jest zatwierdzany do wpisania w komórkę. Formuły CSE są stosunkowo rzadko wykorzystywane i słabo znane, chociaż wcale nie są aż tak trudne do opanowania.

Opracowanie ma przedstawić wykorzystanie tego rodzaju formuł w arkuszu kalkulacyjnym Excel, arkuszu kalkulacyjnym Calc oraz arkuszu kalkulacyjnym Google Docs (ten ostatni wykorzystałem do opisania zasad funkcjonowania arkuszy kalkulacyjnych), dlatego umieszczone zostało w trzech sekcjach tematycznych.

Zasadniczym obszarem wykorzystywania formuł tego typu to wykonywanie obliczeń opierających się o dane zorganizowane w postaci tablic. Dane ułożone w wierszu tworzą jednowymiarową tablicę wierszową natomiast dane zorganizowane w jednej kolumnie tworzą jednowymiarową tablicę kolumnową. To takie dane najczęściej wykorzystywane są do tworzenia formuł tablicowych, chociaż można wykorzystywać także dane ułożone w tablicach dwuwymiarowych.

Formuły CSE mogą obliczać wynik i umieszczać go w jednej komórce arkusza, są to wówczas formuły jednokomórkowe, albo umieszczać wyniki w wielu kolejnych komórkach, czyli tablicy. W tym drugim przypadku każdy wynik obliczany jest na podstawie zawartości odpowiednich danych tablicowych a ilość wyliczonych wartości zależy od wielkości tych tablic. Jeśli tablica wynikowa powstaje na podstawie tablic wierszowych to także będzie tablicą wierszową. Jeżeli podstawą obliczeń będą tablice kolumnowe, to tablica wynikowa także będzie tablicą kolumnową. W obu powyższych przypadkach liczba elementów obu rodzajów tablic (tablic danych i tablicy wyników) musi być taka sama.

To, co napisałem jest uogólniającą definicją takich obliczeń. Mówiąc o tablicy jednowymiarowej mam na myśli dane pobierane do obliczeń, a nie sposób ich ułożenia. Dla przykładu dwuwymiarowa tabelka może zawierać kolumny: „szerokość”, „wysokość” i „powierzchnia”. W tym przykładzie mamy do czynienia z jednowymiarowymi tablicami danych („szerokość” i „wysokość”) i tablicą wyników („powierzchnia”).

Tablica wyników może także powstawać na podstawie tablicy wierszowej i kolumnowej, wówczas jest to tablica dwuwymiarowa, o liczbie kolumn odpowiadającej tablicy wierszowej i liczbie wierszy odpowiadającej tablicy kolumnowej. Przykład obrazujący te trzy sytuacje ilustruje rys. 1.

Na powyższej ilustracji przedstawiłem dwie tablice danych, wierszową i kolumnową. Na ich podstawie wyliczone zostają wartości tablic wynikowych. Wierszowa tablica wynikowa zawiera drugą potęgę liczb znajdujących się w wierszowej tablicy danych. Kolumnowa tablica wyników zawiera wartości kolumnowej tablicy danych powiększone o 15. W końcu dwuwymiarowa tablica danych zawiera wartości obliczone jako pierwiastek z sumy podwojonej wartości tablicy wierszowej i potrojonej wartości tablicy kolumnowej.

Niebieskie strzałki wskazują, na który element tablicy wpływa element danych. Jak widać pierwszy element tablicy wierszowej wpływa na wyliczenie pierwszego elementu wynikowej tablicy wierszowej, drugi element wpływa na wyliczenie drugiego itd. Analogicznie jest z wynikową tablicą kolumnową. W tablicy dwuwymiarowej pierwszy element danych wierszowych wpływa na każdy wynik w pierwszej kolumnie tej tablicy, drugi na każdy wynik w drugiej kolumnie itd., podczas gdy pierwszy element danych kolumnowych wpływa na każdy wynik w pierwszym wierszu tablicy wynikowej, drugi na wyniki w wierszu drugim, aż do ostatniego wiersza.

Przedstawiona ilustracja ma odzwierciedlać charakter obliczeń, do którego można zastosować formuły CSE.

W tradycyjnym rozwiązywaniu tego zagadnienia, w celu uzyskania wyników, w pierwszym obszarze wynikowym (wierszowym) scenariusz byłby następujący: do komórki C9 wstawiam formułę „=A1^2”, a następnie kopiuję ją do komórek od D9 do J9. Analogicznie postąpiono by z formułami w obszarze wyników kolumnowych. Formuła obliczeniowa w tablicy dwuwymiarowej musiałaby jednak być bardziej złożona, gdyż trzeba w niej zastosować mieszany sposób adresowania. Zatem w pierwszej komórce tego obszaru wstawiona zostałaby formuła „=PIERWIASTEK(2*A$1+3*$B13)”. Następnie ta formuła zostałaby skopiowana do pozostałych komórek tego obszaru.

W przypadku formuły SCE wystarczy w dowolnej komórce obszaru wynikowego zbudować wyrażenie obliczeniowe i zatwierdzić je skrótem klawiaturowym CTRL+SHIFT+ENTER, w dalszej części opracowania będę mówił o naciśnięciu CSE.

Tak więc aby móc utworzyć formułę CSE należy najpierw zaznaczyć obszar wyników, a następnie w dowolnej komórce tego obszaru utworzyć formułę.

Tu osobom mniej wprawionym w obsługę arkuszy kalkulacyjnych przyda się wyjaśnienie. Jeżeli w arkuszu został zaznaczony obszar, to można do tego obszaru wpisywać dowolne treści, bez utraty zaznaczenia tego obszaru. Po wprowadzeniu treści do komórki należy nacisnąć klawisz ENTER. Wyznaczenie następnej aktywnej komórki w tym obszarze zależy od ustawień w opcjach dotyczących zachowań programu po naciśnięciu klawisza ENTER. W Excelu jest to opcja „Przenieś zaznaczenie po naciśnięciu klawisza Enter”. Opcja ta znajduje się w sekcji opcji zaawansowanych, w grupie „Opcje edycji”. Nawet jeśli ta opcja jest wyłączona (i Excel nie przenosi standardowo zaznaczenia po naciśnięciu ENTER), to w okienku „Kierunek” i tak znajduje się jakaś wartość i to ona decyduje o tym, w jakim kierunku zostanie przeniesione zaznaczenie.

W LibreOffice i Apache OpenOffice odpowiednia opcja nazywa się „Aby przenieść wybrane, naciśnij klawisz Enter” i powiązane jest z nią rozwijane okienko określające kierunek. Opcja ta znajduje się w opcjach programu (x)Office w części dotyczącej programu Calc, w sekcji „Ogólne” w grupie „Ustawienia wejścia”. W przypadku tych programów kierunek przeniesienia zaznaczenia zależy od tego, czy opcja jest włączona, jeśli jest wyłączona zaznaczenie pozostanie na edytowanej komórce, jeśli włączona to nastąpi przejście w kierunku wynikającym z tej opcji.

Zawsze można przenieść zaznaczenie w prawo za pomocą klawisza TAB lub w lewo za pomocą skrótu klawiaturowego SHIFT+TAB. Po osiągnięciu końca zaznaczonego obszaru zaznaczenie zostanie przeniesione do następnego zaznaczonego obszaru, a jeśli takiego obszaru nie ma, ponownie do pierwszej komórki w zaznaczonym obszarze.

Wspomniałem już o tym, że formuła CSE może zostać utworzona w dowolnej komórce obszaru, a wspominam o tym raz jeszcze, bo Excel i LibreOffice po zaznaczeniu obszaru uaktywniają pierwszą komórkę tego obszaru i jeśli zaczniemy tworzyć formułę to wpisywana ona będzie w tej komórce, natomiast Apache OpenOffice uaktywnia ostatnią komórkę w zaznaczonym obszarze, więc wpis następował będzie do tej ostatniej komórki.

Aby powstała formuła CSE należy wpisać „=A1:H1^2” (wymagany w formule zakres komórek można także wskazać zaznaczając obszar myszką) i nacisnąć CSE. W wyniku tego w każdej komórce zaznaczonego obszaru wyników pojawi się formuła w postaci „{=A1:H1^2}”. Zdefiniowana formuła zostanie objęta nawiasami klamrowymi dodanymi przez program i umieszczona w komórkach wynikowych wyświetlając odpowiednio obliczone wartości. Formuły takiej nie można wpisać samodzielnie wprowadzając nawiasy klamrowe, zawsze trzeba ją zatwierdzać za pomocą CSE.

Analogicznie po zaznaczeniu wynikowego obszaru kolumnowego, do jednej z komórek należy wpisać formułę „=15+B13:B20” i zatwierdzić ją CSE. W obszarze dwuwymiarowym formuła powinna być wpisana tak: „=PIERWIASTEK(2*A1:H1+3*B13:B20)” i także zatwierdzona CSE.

Autorzy LibreOffice i Apache OpenOffice zmodyfikowali zasady tworzenia formuł macierzowych i dopuszczają sytuację, w której obszar wynikowy nie zostanie zaznaczony przed utworzeniem formuły CSE. W takim przypadku komórka, w której utworzono formułę zostanie potraktowana jako lewa górna komórka obszaru wyników a sam obszar zostanie wyznaczony automatycznie na podstawie argumentów formuły. Tak więc jedynie program Excel wymaga zawsze najpierw wyznaczenia obszaru wyników i utworzenia formuły jako następnego kroku.

Jeśli wyznaczony obszar wyników będzie mniejszy niż obszar wynikający z użytych argumentów formuły, obliczone zostaną tylko te wyniki, które mieszczą się w tym obszarze. Jeśli wyznaczony obszar będzie większy, komórki „nadmiarowe” wypełnione zostaną wartościami błędu („#N/D!” w Excelu i „#N/D” w obu wersjach Calc) oznaczającego brak danych. Taką sytuacje dla arkusza w Excelu przedstawia ilustracja poniżej.

W programie arkusza kalkulacyjnego Google Docs (mowa jest o „nowej wersji arkuszy Google” [stan na październik 2014 r.]) formuły CSE wyglądają nieco inaczej. Po pierwsze formułę trzeba wpisać do pierwszej komórki obszaru wynikowego, a zaznaczanie obszaru nie ma żadnego wpływu na ostateczny obszar wynikowy. Zatwierdzenie wpisanej formuły za pomocą CSE spowoduje wstawienie tej formuły jako argumentu do nowej funkcji ArrayFormula. Dopiero tak utworzoną formułę należy zatwierdzić tradycyjnie klawiszem ENTER. Obszar wyników, wyznaczony automatycznie, zorganizowany zostanie tak, że w pierwszej komórce obszaru znajdować się będzie formuła w rodzaju np. „=ArrayFormula(A1:H1^2)”, natomiast w pozostałych komórkach będą już tylko wyniki obliczeń.

CSE realizuje jedynie umieszczenie wpisanej formuły obliczeniowej do wnętrza funkcji ArrayFormula. W Google Docs można zatem samodzielnie napisać „=ArrayFormula(algorytm formuły właściwej)” i nacisnąć ENTER aby uzyskać wyniki formuły tablicowej.

Poniższa ilustracja obrazuje obszar wyników w arkuszu Google Docs. Mimo wstępnego wyznaczenia obszaru, wyniki i tak zostały zorganizowane tylko w przestrzeni wynikającej z argumentów formuły.

Obszar wyników formuły CSE we wszystkich programach cechuje się pewnymi właściwościami. Obszar ten jest w pewien szczególny sposób zabezpieczony. W Excelu i Calcu nie można usunąć żadnej wartości w tym obszarze, zmienić jej, albo poprawić formuły.

Na takie działania programy te zareagują komunikatami ostrzegającymi i nie wykonają tych działań. Przykłady tych komunikatów poniżej.

Dozwolone jest jedynie usunięcie wszystkich formuł CSE albo przeredagowanie formuły. Można to jednak zrobić tylko po zaznaczeniu obszaru wyników, w jakim te formuły zostały utworzone. Jeśli autor wie jak ten obszar wygląda może go zaznaczyć, jeśli nie pamięta jego rozmiaru, wystarczy ustawić aktywną komórkę w dowolnym miejscu wewnątrz takiego obszaru i użyć skrótu klawiaturowego CTRL+/ (znak / musi być wciśnięty w numerycznej części klawiatury). Zostanie wówczas zaznaczony cały obszar formuły tablicowej. Naciśnięcie klawisza DELETE usunie formuły natomiast naciśnięcie klawisza F2 pozwoli edytować formułę w komórce. Jeśli obszar formuł tablicowych jest zaznaczony formułę można także edytować w pasku edycji formuły. Podczas edytowania formuły znikają nawiasy klamrowe. Zakończenie edycji należy potwierdzić skrótem CSE.

Dzięki takiemu mechanizmowi nie jest możliwe przypadkowe usunięcie lub nadpisanie danych znajdujących się w arkuszu.

Google Docs także chroni obszar wyników uniemożliwiając ich usunięcie. Program zezwala jednak na nadpisanie danych. Jeśli nadpisane zostaną dane w komórce innej niż pierwsza z tego obszaru, to ta nadpisana wartość pojawi się w komórce, znikną jednak wszystkie inne wartości a w pierwszej komórce (tej zawierającej funkcję ArrayFormula) pojawi się wskaźnik o błędzie. Taką sytuację przedstawia rysunek poniżej.

Usunięcie nadpisanej wartości przywróci postać obszaru wynikowego. Nadpisanie lub usunięcie zawartości w pierwszej komórce tego obszaru jest równoważne z usunięciem formuły tablicowej.

W przypadku Google Docs formułę tablicową można poprawiać modyfikując po prostu formułę zapisaną wewnątrz funkcji ArrayFormula i wówczas poprawiony wpis zatwierdza się zwykłym klawiszem ENTER.

Obszary wynikowe formuł CSE są także chronione przed zmianami rozmiarów. W tej części arkusza, która obejmuje taki obszar nie można dodać ani usunąć nowych wierszy albo kolumn.

Można jednak dodać nowy wiersz lub kolumnę w obszarach zawierających dane niezbędne do obliczeń (jednak pod warunkiem, że dodawany wiersz lub kolumna nie przebiegają przez obszar wyników) albo usunąć taki element, jednak te operacje nie wpływają na reorganizację wyników w obszarze wynikowym, co może prowadzić do nieoczekiwanych rezultatów.

Formuły tablicowe są dość słabo udokumentowane, zwłaszcza gdy użytkownik chciałby ich użyć w nietypowych zastosowaniach. Pozostaje więc eksperymentowanie w tym zakresie.

Formuły jednokomórkowe.

Formuły tablicowe nie są raczej kojarzone z wynikiem jednokomórkowym, ale do tego typu obliczeń mogą zostać wykorzystane. Jeśli zastanowić się, kiedy dla danych tablicowych pojawiają się wyniki jednokomórkowe, na myśl przychodzą dane statystyczne, w rodzaju średniej, mediany, odchylenia standardowego itp. albo dane finansowe obliczane na bazie zestawień tabelarycznych. Funkcje obliczające te przykładowe wskaźniki i tak bazują na argumentach podających zakresy danych. Wykorzystanie formuły CSE polega na wstawieniu jako argumentu takiej funkcji działania na pewnych tablicach i uzyskaniu wyniku z takich obliczeń. Oprogramowanie arkuszy kalkulacyjnych samo decyduje, na podstawie budowy formuły zatwierdzanej skrótem CSE czy wynik zostanie umieszczony w jednej komórce, czy w obszarze komórek. W tej sytuacji, gdy autor arkusza zaznaczy obszar wynikowy, a uzyskanym wynikiem powinien być obszar jednokomórkowy, formuła zostanie powielona we wszystkich komórkach tego zaznaczonego wykresu wyświetlając jednocześnie taki sam rezultat obliczeń. Najlepiej jak sądzę pokaże to następujący przykład. Na podstawie istniejącego zestawienia cen i ilości sprzedanego pieczywa chcemy uzyskać średnią wartość zakupu.

Na ilustracji wyróżniłem formułę obliczania średniej wartości zakupu zbudowanej jako formuła CSE. Zapisanie argumentów funkcji w sposób widoczny na ilustracji wymaga zatwierdzenia formuły za pomocą CSE, zwykłe zatwierdzenie formuły klawiszem ENTER wyświetli w komórce wartość błędu #ARG!, sygnalizując błędne użycie argumentów w formule. W opozycji do tej formuły znajduje się tradycyjne wyliczenie tej wielkości, wymagające najpierw obliczenia wartości każdej pozycji z wykazu, a następnie znalezienie średniej z tej kolumny wyników.

W przypadku formuł jednokomórkowych trudno mówić o ochronie obszaru wyników. Wskazanie tej jednej komórki jest jednocześnie zaznaczeniem całego obszaru wyników, można więc dokonać dowolnych zmian. Jeśli jednak taka formuła jest powtórzona w kilku komórkach, to aby dokonać zmian należy zaznaczyć obszar wyników.

Dokumentacja arkuszy kalkulacyjnych mówi, że w formułach tablicowych, macierzowych czy też CSE – nazwa nie ma tu znaczenia – można wykorzystywać wszystkie funkcje programu. Używając ich należy jednak zachować pewną ostrożność, gdyż nie zawsze osiągnięty zostanie oczekiwany rezultat. Te problemy nie są jakoś specjalnie opisane, ale jeden z nich zilustruję przykładem.

Wykorzystam w nim ten sam arkusz, jaki został pokazany na rys. 6. Tym razem w kolumnie obok wyliczonej wartości wstawiłem formułę CSE zawierającą funkcję JEŻELI. Formuła wstawia tekst zależny od tego, czy ilość w odpowiednim wierszu jest mniejsza od 700 i większa od 200.

Jak widać obszar wyników został wyznaczony prawidłowo i w każdej komórce tego obszaru wyświetlona jest prawidłowa wartość. Każdy użytkownik arkuszy kalkulacyjnych zauważy, że zamiast pisać zagnieżdżone funkcje JEŻELI można byłoby skorzystać z funkcji I, upraszczając formułę. Jednak taka zmodyfikowana formuła zostanie potraktowana jako formuła jednokomórkowa. Pokazuję to na kolejnej ilustracji, jednak aby unaocznić nieoczekiwane działanie zastąpiłem funkcję I funkcją LUB.

Formułę zbudowałem w komórce E2 nie zaznaczając potencjalnego obszaru wynikowego. Po zatwierdzeniu jej CSE powstał obszar wyników złożony z jednej tylko komórki. Zwróćmy uwagę na to, że wynikiem formuły jest tekst wynikający z wartości PRAWDA w pierwszym argumencie funkcji JEŻELI. Jak jednak widać, w pierwszej komórce oczekiwaną wartością warunku jest FAŁSZ. Dlaczego taki wynik został uzyskany?

Wynika to z działania funkcji LUB a także I. Otóż jeśli argumentem tych funkcji są zakresy komórek, to wartość funkcji wynika z przeanalizowania wszystkich komórek w zakresie i wyznaczeniu jednego wyniku. W tym przykładzie w analizowanym zakresie jest przynajmniej jedna komórka zawierająca wartość mniejszą od 700 i przynajmniej jedna zawierająca wartość większą od 200, do uzyskania wartości PRAWDA wystarczy spełnienie przynajmniej jednego z warunków. Gdyby zastosowaną funkcją była funkcja I, to wartością tej funkcji byłby FAŁSZ, bo przynajmniej jedna z wartości w zakresie komórek nie spełnia warunku mniejszości od 700 (dla funkcji I już to jest wystarczające) i przynajmniej jedna nie spełnia warunku większości od 200.

W Excelu, w którym należy zawsze zaznaczyć oczekiwany obszar wynikowy, oraz w Calcu, gdy autor także wyznaczy najpierw obszar wyników, we wszystkich jego komórkach wyświetlona byłaby wartość wspólna wynikająca z omówionego przed chwilą mechanizmu.

To właśnie takie sytuacje mam na myśli, pisząc o nieoczekiwanych rezultatach.

Stałe tablicowe.

Czasami do obliczeń potrzebny jest jakiś niezmienny układ danych. Takie dane można oczywiście umieścić w arkuszu jako pewien obszar i wykorzystywać go w formułach obliczeniowych. Te niezmieniające się dane nazwiemy stałymi tablicowymi. Stałe tablicowe odpowiadają więc pewnemu obszarowi, tyle że nieumieszczonemu w obszarze arkusza. Mogą jednak zostać użyte tak jak wskazanie obszaru. Takie stałe mogą zawierać wartości liczbowe, wartości PRAWDA i FAŁSZ oraz teksty. Nie mogą zawierać wyrażeń obliczeniowych, nie mogą zawierać pustych pozycji i ilość elementów kolumnowych w każdym wierszu musi być taka sama. Stałej tablicowej nie należy utożsamiać z formułą tablicową.

Wykorzystanie stałej tablicowej możliwe jest w każdej, także zwykłej formule takiej np. jak INDEKS czy WYSZUKAJ.PIONOWO w których pojawi się jako argument opisujący zakres. W formule macierzowej taka stała odgrywa rolę obszaru danych. Taką stałą zawsze wpisywać należy w nawiasach klamrowych „{}”, w tym jedynym przypadku wpisywanych samodzielnie. Stała tablicowa składa się z wierszy i kolumn. Elementy każdej kolumny są w wierszach oddzielane od siebie wybranym znakiem, jest to znak separatora kolumny. Odrębnym znakiem sygnalizuje się kolejny wiersz, to znak separatora wierszy. Znaki te są różne dla omawianych tu przeze mnie programów i zależą od stosowanego zestawu znaków narodowych. W Polsce – przy standardowych ustawieniach – są to:

Zatem zapis formuły w LibreOffice w postaci „=INDEKS({1.2.3.4;5.6.7.8};2;3)” wyznaczy wartość 7 jako wynik pobrany z drugiego wiersza i trzeciej kolumny tablicy podanej jako stała tablicowa. Ten sam zapis w Google Docs powinien wyglądać następująco: „=index({1\2\3\4;5\6\7\8};2;3)”

W programie Calc pakietu LibreOffice można samodzielnie ustalić wspomniane separatory. Dokonać tego można w sekcji „Separatory” polecenia „Narzędzia – Opcje... – LibreOffice Calc – Formuła” .

Takie stałe tablicowe można oczywiście umieścić w arkuszu kalkulacyjnym wpisując je jako formuły CSE. W Excelu trzeba najpierw wyznaczyć obszar danych dla stałych, w pozostałych programach można tego nie robić. W komórce obszaru należy wpisać stałą, w Excelu np. „={1;2;3;4\5;6;7;8}” i nacisnąć CSE. Pamiętajmy, że wpisując stałą sami wpisujemy nawiasy klamrowe. Stała zostanie zastąpiona formułą macierzową, czyli całe wyrażenie zostanie objęte dodatkową parą nawiasów klamrowych a w komórkach obszaru pojawią się poszczególne wartości tej stałej. Obszar zawierający wartości stałej tablicowej podlega tym samym regułom jak obszar wyników w formule CSE.

Na zakończenie pokażę jeszcze trywialne może zadanie, ale obrazujące istotę formuł tablicowych. Zadanie polega na utworzeniu tabliczki mnożenia wszystkich liczb od 1 do 9. Prezentacja przygotowana została w arkuszu Excel 2007 ale można ją wykonać w ten sam sposób w każdym innym arkuszu. W pozostałych arkuszach jakich użyłem w tym opracowaniu nie trzeba jednak zaznaczać obszaru wynikowego.

Prezentacja po konwersji. Naprowadź myszkę na ten tekst aby przeczytać uwagę.

Formułom tablicowym poświęcono wiele stron internetowych, tym którzy chcieliby poczytać o tym więcej proponuję opracowania na stronach http://www.bardzki.pl/index.php?mid=excel_formuly_tablicowe dotyczące przede wszystkim Excela lub http://przepis-na-lo.pl/2013/04/wprowadzenie-do-formul-macierzowych dotyczące LibreOffice.

Proszę jednak pamiętać, że mechanizmy działania tego typu obliczeń są takie same we wszystkich programach.

Użytkowniku serwisu
Jeśli opracowanie, które właśnie przeczytałeś, pomogło rozwiązać Twój problem, wyjaśniło wątpliwości, pomogło zrozumieć to zagadnienie czy choćby Ci się spodobało i uważasz, że jest tego warte – możesz wesprzeć finansowo serwis.

Wsparcie zrealizujesz za pośrednictwem serwisu płatności internetowych PayPal. Nie musisz mieć konta w tym serwisie. Wystarczy kliknąć rysunek obok. Gdy masz swoje konto w PayPal, możesz skorzystać z linku PayPal.me.

Dziękuję!

Jeśli dotarłeś do tej strony znajdując ją bezpośrednio w Internecie, możesz przywołać w jej miejsce listę tematów, o których piszę w tym serwisie. Wystarczy kliknąć w poniższy tekst.
Chcę zobaczyć tematykę innych problemów.

Utworzono 06.10.2014
Zmodyfikowano 06.10.2014